Unit 5: Mathematical Reasoning and Aptitude — Full Notes

Known information, evidence या premises के आधार पर logically conclusion तक पहुँचने की mental process को reasoning कहते हैं।

General principle से specific conclusion की ओर बढ़ना।

Example: Premise 1: सभी prime numbers greater than 2 odd होते हैं। Premise 2: 7 एक prime number है और 2 से बड़ा है। Conclusion: 7 odd है। यदि premises true हों और logical form valid हो, तो conclusion necessarily true होगा।

Specific observations से general conclusion या pattern बनाना।

Example: Sequence: 2, 4, 6, 8… Observations के आधार पर अगला term 10 predict करना induction है। Conclusion probable होता है, necessary नहीं; number और letter series में इसका व्यापक उपयोग होता है।

Observed fact के लिए सबसे plausible explanation चुनना।

Example: Class के अधिकांश students का online test submit नहीं हुआ और server error report हुआ। Possible explanation: LMS server failure submission problem का सबसे plausible कारण है। Abduction certainty नहीं, best explanation देता है।

दो relationships की similarity के आधार पर conclusion।

Example: Book : Reading :: Pen : Writing। Mathematical analogy में: 4 : 16 :: 7 : 49

Numbers का ऐसा ordered arrangement जिसमें एक निश्चित mathematical pattern या rule follow होता है।

• Series Solve करने का क्रम
• 1. Difference check करें।
• 2. Second difference देखें।
• 3. Multiplication/division देखें।
• 4. Mixed operations देखें।
• 5. Squares, cubes और primes देखें।
• 6. Alternate terms अलग करें।
• 7. Position-based rule जाँचें।

Example: 5, 9, 13, 17, ?

Example: 3, 7, 13, 21, 31, ?

Example: 2, 5, 10, 17, 26, ?

यह n² + 1 pattern भी है।

Example: 3, 6, 18, 72, ?

Example: 2, 5, 11, 23, 47, ?

Important Squares

Important Cubes

Prime numbers केवल 1 और स्वयं से divisible होते हैं। Example: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

• Exam Trap: 1 prime नहीं है।
• 2 एकमात्र even prime है।

प्रत्येक term पिछले दो terms का sum। Example: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…

Modified Fibonacci में sum के साथ constant add/subtract हो सकता है।

Odd-position और even-position terms अलग-अलग pattern follow करते हैं।

Example: 2, 5, 4, 10, 8, 20, ?

Odd terms: 2, 4, 8, ? → ×2; Even terms: 5, 10, 20 → ×2

• 1. Expected pattern बनाइए।
• 2. प्रत्येक term को verify करें।
• 3. केवल difference नहीं, alternate pattern भी देखें।
• 4. ऐसा correction चुनें जो पूरी series को consistent बनाए।

Example: 15, 16, 22, 29, 45, 70 — correct differences 1²,2²,3²,4²,5² होने चाहिए, तो correct series 15, 16, 20, 29, 45, 70 है, इसलिए 22 wrong term है।

Reverse Positions

Important Formula: किसी letter की forward और reverse position का sum = 27

Example: C की forward position = 3, Reverse position = 24, 3 + 24 = 27

A↔Z, B↔Y, C↔X, D↔W, E↔V — प्रत्येक pair का sum 27 होता है (forward + reverse position rule का प्रयोग करके)।

Example: D की opposite letter ज्ञात करें: D की position 4 है, तो opposite = 27 − 4 = 23वाँ letter = W

Equal Jump — Example: A, D, G, J, ?

Increasing Jump — Example: A, C, F, J, O, ?

Alternate Series — Example: A, Z, C, X, E, V, ?

Forward series: A, C, E, ? → G; Backward series: Z, X, V

Words, letters या numbers को किसी निश्चित rule के अनुसार दूसरे form में बदलना coding कहलाता है। Rule पहचानकर original या new code निकालना decoding है।

• सामान्य प्रकार
• Letter shifting
• Reverse alphabet
• Word reversal
• Position coding
• Substitution coding
• Number coding
• Matrix coding
• Sentence coding

Example: यदि CAT → DBU, Rule: प्रत्येक letter +1, तो DOG → EPH

सावधानी: Z के बाद A माना जा सकता है।

Opposite letters उपयोग किए जाते हैं: A↔Z, B↔Y, C↔X

Example: CAT → C→X, A→Z, T→G

Example: QUESTION → UQSEITNO

Letters को pairs में interchange किया गया: QU→UQ, ES→SE, TI→IT, ON→NO। इसी rule को नए word पर apply करना होगा।

Letters की positions का Sum, Difference, Product, Square, Vowel/consonant count code हो सकता है।

Example: CAT = C+A+T = 3+1+20 = 24

Common word और common code method:

Example: "Sky is blue" → ka na pa; "Sea is blue" → ta na pa

Common words: is, blue — Common codes: na, pa; Unique word "Sky" = ka; Unique word "Sea" = ta

Numbers के बीच relationship (जैसे square, cube, ratio) पहचानकर analogy पूरी की जाती है।

Example: 4 : 16 :: 7 : 49 — यहाँ rule n → n² है, अतः missing number 49 है।

यदि: + का अर्थ ×, − का अर्थ +, × का अर्थ ÷ हो, तो पहले symbols को वास्तविक operations से replace करें, फिर BODMAS लागू करें।

Example: यदि "+" का अर्थ "×" है और "−" का अर्थ "+" है, तो 8 + 2 − 3 = 8 × 2 + 3 = 16 + 3 = 19

Exam Trap: Replacement करने से पहले calculation शुरू न करें।

a = Numerator/अंश, b = Denominator/हर

• Proper Fraction: a < b, जैसे 3/5
• Improper Fraction: a ≥ b, जैसे 7/5
• Mixed Fraction: 1 2/5
• Equivalent Fractions: 1/2 = 2/4 = 3/6

Addition

Example: 2/3 + 1/4 = (8+3)/12 = 11/12

Multiplication

Division

Example: 1/8 = 12.5% (क्योंकि 1÷8×100 = 12.5)

दो समान प्रकार की quantities की comparison:

Example: Boys : Girls = 3 : 2 और total students = 50

यदि दो ratios equal हों: a : b = c : d, तो ad = bc — इसे cross multiplication कहते हैं।

Example: 3 : 5 = x : 20

एक quantity बढ़े तो दूसरी भी same ratio में बढ़े।

Example: Fixed price पर items और total cost — अगर 1 item ₹20 का है तो 5 items ₹100 के होंगे।

Inverse Proportion: एक quantity बढ़े तो दूसरी घटे।

Example: Same work के लिए workers और days — जितने ज़्यादा workers, उतने कम days।

यदि ratio a:b और total T है:

Example: ₹500 को 2:3 के ratio में बाँटें: पहला भाग = 2/5×500 = ₹200, दूसरा भाग = 3/5×500 = ₹300

Exam Trap: Ratio की quantities में same unit होना चाहिए।

Percentage का अर्थ है "per hundred".

Example: 45 out of 60 को percentage में बदलें: 45/60 × 100 = 75%

Example: Salary ₹20,000 से ₹23,000 हुई। Increase: 3000

यदि successive changes a% और b% हों (decrease को negative लें):

Example: 20% increase, फिर 10% decrease:

Exam Trap: 20% increase और 20% decrease cancel नहीं होते — net हमेशा loss होता है (x²/100 %)।

• x% increase → multiply by (1 + x/100)
• x% decrease → multiply by (1 − x/100)

Example: ₹5,000 पर 10% increase: 5000 × 1.10 = ₹5,500

• CP = Cost Price/क्रय मूल्य
• SP = Selling Price/विक्रय मूल्य
• MP = Marked Price/अंकित मूल्य

Important Trap: Profit/Loss percentage सामान्यतः Cost Price पर calculate होती है, Selling Price पर नहीं।

Profit p%:

Loss l%:

CP Formula

Example: ₹1,200 CP पर 10% profit से SP = 1200×1.10 = ₹1,320

यदि profit SP का x% है: मान लें SP = 100, Profit = x, CP = 100 − x

Example: Profit = SP का 25%: Profit% = 25/75 × 100 = 33⅓%

दो articles same SP पर बेचे गए। एक पर x% profit और दूसरे पर x% loss:

Example: 20% profit और 20% loss: 20²/100 = 4% loss

Example: MP ₹1,000 पर 15% discount: SP = 1000×0.85 = ₹850

Two discounts a% और b%:

Example: 20% और 10%: 20+10−(20×10)/100 = 28%

Three Successive Discounts: Remaining multipliers का product करें। 10%, 20%, 25% discounts:

Exam Trap: Successive discounts को सीधे जोड़ना गलत है।

जहाँ P = Principal, R = Annual rate, T = Time in years

Example: ₹10,000 पर 10% annual rate से 2 years: SI = (10000×10×2)/100 = ₹2000 → Amount = ₹12,000

Example: ₹10,000, 10%, 2 years: A = 10000×(1.1)² = ₹12,100; CI = 12100−10000 = ₹2,100

2 years के लिए:

Example: ₹10,000 at 10%: CI − SI = 10000 × (10/100)² = ₹100

• Rate = R/2
• Time periods = 2T

Quarterly: Rate = R/4, Periods = 4T

Example: ₹1,00,000 machine 10% वार्षिक depreciate हो, 2 years बाद value = 100000×(0.9)² = ₹81,000

Example: 150 km, 3 hours में तय — Speed = 150/3 = 50 km/hr

Example: 72 km/hr: 72 × 5/18 = 20 m/s

Opposite Directions:

Same Direction:

Example: दो trains opposite direction में 40 km/hr और 60 km/hr से चलती हैं, relative speed = 100 km/hr

Same distance के लिए: Speed ∝ 1/Time

Example: Speed 25% बढ़ी → New time = 100/125 = 4/5, अर्थात time 20% घटा।

Exam Trap: Speed 25% बढ़ने पर time 25% नहीं, 20% घटता है।

Equal Distances at Speeds x and y:

Equal Time at Speeds x and y:

Exam Trap: Different time/distance होने पर speeds का simple average नहीं लेना चाहिए।

Pole/person को cross करना:

Platform को cross करना:

Two trains: Opposite direction → speeds add; Same direction → speeds subtract

Example: 5 numbers का average 18: Sum = 5×18 = 90

Example: 20 students का average 60 और 30 students का average 70: (20×60 + 30×70)/50 = 3300/50 = 66

यदि एक observation x को y से replace किया जाए:

Example: 10 persons के group में 40 को 60 से replace किया: Average increase = (60−40)/10 = 2

जब observations की importance/frequency अलग हो।

Example: 3 subjects में marks 80, 70, 90 और weightage 1, 2, 3 है, तो weighted average = (80×1+70×2+90×3)/(1+2+3) = (80+140+270)/6 = 81.67